sin1

\(2^{64} \sin 1\) の整数部分を知るためにはテイラー展開の何次の項まで足せばよいか．

\[\begin{align} 20!=2432902008176640000&\\ <2^{64}=18446744073709551616&\\ <21!=51090942171709440000& \end{align}\]

だから，真値に対する誤差を1より小さくするには\(20\)次までは必要．\(\sin\) のテイラー展開は偶数項しかないから実際には \(19\) 次まで足して，

\[\frac{1}{1!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\cdots -\frac{1}{19!} =\frac{102360822438075317}{121645100408832000} =a_{20}\]

の \(\sin 1\) との誤差は \(1/21!\) 以下になる．

\[b_{20} = a_{20} + \frac{1}{21!} = \frac{42991545423991633141}{51090942171709440000}\]

とすると，\(\sin 1\in [a_{20}, b_{20}]\). 実際に計算することで

\[\lfloor 2^{64}a_{20}\rfloor = \lfloor 2^{64}b_{20}\rfloor = 15522399902203605024\]

が分かって，

\[\lfloor 2^{64}\sin 1\rfloor = 15522399902203605024\]

と結論付けられる．この数を\(A\)とする．多少注目されてもよさそうな値だが，これでグーグル検索すると荷物検索を提案されただけだった．

同様に \(\cos\)は，

\[\lfloor 2^{64}\cos 1\rfloor = 9966818358784711825\]

でこちらは\(B\)とする．

\[\begin{align} \sin 1 &\in \left[ \frac{A}{2^{64}}, \frac{A+1}{2^{64}} \right],\\ \cos 1 &\in \left[ \frac{B}{2^{64}}, \frac{B+1}{2^{64}} \right],\\ \end{align}\]

を使って区間演算をする．

倍角：

\[\begin{align} \sin 2 = 2\sin 1 \cos 1 &\in \left[ \frac{16773576919535988475}{2^{64}}, \frac{16773576919535988479}{2^{64}} \right],\\ \cos 2 = \cos^21-\sin^21&\in \left[ \frac{-7676554190868976274}{2^{64}}, \frac{-7676554190868976271}{2^{64}} \right],\\ \end{align}\]

……みたいなことをしていく．\(2^{64}\)同士の積はi128でオーバーフローするからダメだな．\(2^{63}\)を分母とする分数の構造体を定義して，さらにそれらを両端に持つ「区間」を構造体として定義する．すると自前の構造体+numクレートの関数くらいで \(\mid 2^{32} \sin i\mid\) が \(1\leq i \leq 64\) の範囲では求まるはず．加法定理に使う乗算は高々6回で済むので，掛け算1回で区間の幅が4倍に広がるとして足りる．

というのはメモ書きに留めて一旦Rust本読む．構造体のコピーを理解していないときっと躓く．

Traits: Defining Shared Behavior - The Rust Programming Language

Traitは型が持つ機能を規定する．他の言語のinterfaceと似ているが，少し違う．

トレイトの定義中にはメソッドのシグネチャのみを書く．

構造体 implements トレイトではなくてimpl トレイト for 構造体か．

pub trait Summary {
    fn summarize(&self) -> String;
}

pub struct NewsArticle {
    pub headline: String,
    pub location: String,
    pub author: String,
    pub content: String,
}

impl Summary for NewsArticle {
    fn summarize(&self) -> String {
        format!("{}, by {} ({})", self.headline, self.author, self, location)
    }
}

pub struct Tweet {
    pub username: String,
    pub content: String,
    pub reply: bool,
    pub retweet: bool,
}

impl Summary for Tweet {
    fn summarize(&self) -> String {
        format!("{}: {}", self.username, self.content)
    }
}

これをlib.rsに定義して，summarizeメソッドをmain.rsで使おうとするとuse traits::Summaryが必要になった．どういうことだろう．summarizeがpubでないのがいけないのかと思って足すとこれも怒られる．

ある型にトレイトをimplementさせるには，その型かトレイトの少なくともどちらか一方がローカルに定義されている必要がある．どちらも外部の場合は許されない．これをcoherence，orphan ruleという．どこかで勝手にimplementが行うことは破壊的であるため．

トレイトの関数にはシグネチャのみを記述する代わりに，デフォルト実装を書くこともできる．このデフォルト実装中には，トレイトが持つ他の関数を利用できる．

あるトレイトをimplementしている型の値を引数に取りたいとき，impl Traitが型として扱える．

pub fn notify(item: &impl Summary) {
    println!("Breaking news! {}", item.summarize());
}

これだけなら型パラメータTがいらない．実際にはTのある方法，trait boundを使った記法のシンタックスシュガーになっている．

pub fn notify<T: Summary>(item: &T) {
    println!("Breaking news! {}", item.summarize());
}

同じ型の引数が複数ある時はこっちのほうが簡潔に書ける．使いよう．

Specifying Multiple Trait Bounds with the + Syntax

複数のtrait boundを課す場合，+でトレイトをつなげる．記号は+だがだいたい積集合の意味になるはず．

<T: Trait>はシグネチャの直後にwhereを付けて書いてもよい．

関数の戻り値をimpl Traitにすることもできる．これはクロージャやイテレータを使うときに役立つ． ただし共通のトレイトをimplementしているからといって複数の型を返すことはできない．

Fixing the largest Function with Trait Bounds

戻ってきた．>はstd::cmp::PartialOrdトレイトに定義されているが，これはpreludeに含まれるため明示的にスコープに入れる必要がなかった． Copyトレイトをtrait boundに設定したが，Cloneトレイトとcloneメソッドで代用もできる．または戻り値を参照に変えてもよい．

Try implementing these alternate solutions on your own!

Implemented.

fn largest2<T: PartialOrd + Clone>(list: &[T]) -> Option<T> {
    if list.len() == 0 {
        return None;
    }
    let mut largest = list[0].clone();
    for item in list {
        if *item > largest {
            largest = item.clone();
        }
    }
    Some(largest)
}

fn largest3<T: PartialOrd>(list: &[T]) -> Option<&T> {
    if list.len() == 0 {
        return None;
    }
    let mut largest = &list[0];
    for item in list {
        if item > largest {
            largest = item;
        }
    }
    Some(&largest)
}

3が一番自然だな．スライスで受け取っているのだからコピーして返す必要がない．

Using Trait Bounds to Conditionally Implement Methods

構造体がジェネリック型で定義されているとき，trait boundを設けたメソッドを定義できる．

さらに，あるtrait boundを持つ任意の型に対してトレイトのimplementationを行うことをblanket implementationという．

impl<T: Display> ToString for T {

}

初めて見ると一瞬戸惑う．Tという型にToStringトレイトに規定されたメソッドが実装されていて，このTにはDisplayがtrait boundとして設けられている．具体的な型はしていされていないが，ToStringのimplementationを行うためにはDisplayのメソッドを利用するということになる． Displayをtrait boundにもつ全ての型がToStringをimplementしていることにもなる．つまりdisplayさえできればto_stringもできる．

Blanket implementations appear in the documentation for the trait in the “Implementors” section.

これか．

ToString in std::string - Rust

今日はここまで．次のライフタイムが難しそー……．