歴史

この頁では、現在知られている極値偶ユニモジュラー格子を次元ごとに挙げ、誰がいつ見つけたかをまとめます。それぞれがどう構成されたかは、次の頁で扱います。

$24$ 次元までは偶ユニモジュラー格子が完全に分類されているので、極値格子もすべて分かっています。$8$ 次元の $E_8$⁠、$16$ 次元の $E_8\perp E_8$ と $D_{16}^{+}$（$16$ 次元では上界が $2$ なので、どちらも極値格子です）、そして $24$ 次元の Leech 格子です。

$32$ 次元と $40$ 次元では極値格子が多すぎて一つずつ挙げることはできず、個数の下界だけが知られています。$48$ 次元から先で知られている例は、どれも具体的な構成から得られたものです。例が少ない次元では、表に格子の名前も挙げています。

$24$ 次元以上の極値格子の構成を、年の順に挙げます。極値格子が存在しうる次元を制限する $2$ つの結果も含めています。各項目は、結果が最初に公開された年に置いています。公開の形は、学術誌か、査読の前に公開された論文（プレプリント⁠）です。

• 1967 年　Leech が Leech 格子 $\Lambda_{24}$ を発表しました [Lee67]⁠。その $2$ 年後、Conway が、ノルム $2$ のベクトルを持たない $24$ 次元の偶ユニモジュラー格子は Leech 格子に限られることを証明しました [Con69]⁠。
• 1971 年　Leech と Sloane が、$48$ 次元の最初の $2$ つの極値格子 $P_{48p}$⁠、$P_{48q}$ を構成しました。用いたのは $3$ 元自己双対符号（$3$ つの元からなる体の上の符号。次の頁で説明します）です [LS71]⁠。
• 1975 年　Mallows、Odlyzko、Sloane が上界 $\min\Lambda\le 2\lfloor n/24\rfloor+2$ を証明し、十分大きな次元では極値格子が存在しないことを示しました [MOS75]⁠。
• 1984 年　Quebbemann が一般的な構成法を導入し、$64$ 次元の極値格子を得ました [Que84]⁠。
• 1989 年　Ozeki が、$3$ 元符号から $56$ 次元の極値格子を得ました [Oze89]⁠。
• 1995 年　Batut、Quebbemann、Scharlau が、$56$ 次元の別の極値格子を見つけました。用いたのは、$\mathbb{Q}$ に $1$ の冪根を添加して得られる体（円分体）です [BQS95]⁠。
• 1998 年　Nebe が $48$ 次元の $3$ つ目の極値格子 $P_{48n}$ を構成しました。同じ論文で、群 $\mathrm{SL}_2(29)$ が自己同型として作用する $56$ 次元の極値格子も構成しています [Neb98]⁠。同じ年に、Bachoc と Nebe が $80$ 次元の極値格子を $2$ つ構成しました [BN98]⁠。
• 2010 年　Stehlé と Watkins が、$80$ 次元の $3$ つ目の格子が極値格子であることを証明しました [SW10]⁠。Nebe が、$72$ 次元で最初の極値格子 $\Gamma_{72}$ を構成しました（プレプリントは 2010 年、出版は 2012 年）[Neb12]⁠。
• 2011 年　Jenkins と Rouse が、$163\,264$ を超える次元には極値格子が存在しないことを示しました [JR11]⁠。
• 2012 年　Watkins が、$80$ 次元の $4$ つ目の極値格子を見つけました [Wat12]⁠。
• 2013 年　Nebe が、$48$ 次元の $4$ つ目の極値格子 $P_{48m}$ を見つけました（プレプリントは 2013 年、出版は 2014 年）[Neb14]⁠。
• 2018 年、2022 年　Shimada が $64$ 次元で新しい構成を与え [Shi18]⁠、Quebbemann の構成から $64$ 次元の極値格子が多数得られることを示しました [Shi22]⁠。
• 2026 年　Sakamoto が、計算機を用いた証明とともに $88$ 次元の極値格子を $2$ つ構成しました（プレプリント）[Sak26]⁠。$10$ 月には、$112$ 次元の極値格子 $L_{112}$ が、同じく計算機を用いた証明とともに発表されました（プレプリント）[L112]⁠。詳しくは $L_{112}$ の頁で述べます。

図は、$24$ 次元以上の各次元について、最初の極値格子が公開された年を示したものです。極値格子は、次元の小さい順に見つかってきたわけではありません。$80$ 次元の極値格子は、$72$ 次元のものより $12$ 年早く知られていました。また、$96$ 次元と $104$ 次元が未解決のまま、$112$ 次元の例が見つかりました。

これまでのところ、発見までに長い時間がかかったのは、上界 $2\lfloor n/24\rfloor+2$ の値が大きくなった直後の次元です。$72$ 次元は最小ノルム $8$ が必要になる最初の次元で、$80$ 次元より後に見つかりました。$96$ 次元は最小ノルム $10$ が必要になる最初の次元で、まだ例が知られていません。一方、最小ノルム $6$ が必要になる最初の次元である $48$ 次元は例外で、$3$ 元符号を用いた構成によって早い時期に解決しました。Jenkins と Rouse も、$24$ で割り切れる次元はとりわけ難しいと述べています [JR11, §1]⁠。

最小ノルムが大きいほど極値格子が見つけにくくなる理由は、$112$ 次元の頁で、質量公式に基づく発見的な議論によって説明します。同じ頁では、同じく最小ノルム $10$ が必要な $96$ 次元や $104$ 次元と比べて、$112$ 次元のほうが例の見つかる見込みが高かった理由も述べます。